◎历一
夫明时治历，自⻩帝、尧、舜与三代之盛王，莫不重之，其文备见于传记矣。虽去古既远，其法不详，然原其要，不过随时考验，以合于天而已。汉刘歆作《三统历》，始立积年⽇法，为以推步之准。后世因之，历唐而宋，其更元改法者，凡数十家，岂故相为乖异哉？盖天有不齐之运，而历为定一之法，以所既久而不能不差，既差则不可不改也。
元初承用金《大明历》，庚辰岁，太祖西征，五月望，月蚀不效；二月、五月朔，微月见于西南。中书令耶律楚材以《大明历》后天，乃损节气之分，减周天之秒，去
终之率，治月转之余，课两曜之后先，调五行之出没，以正《大明历》之失。且以中元庚午岁，国兵南伐，而天下略定，推上元庚午岁天正十一月壬戌朔，子正冬至，⽇月合璧，五星联珠，同会虚宿六度，以应太祖受命之符。又以西域、中原地里殊远，创为里差以增损之，虽东西万里，不复差忒。遂题其名曰《西征庚午元历》，表上之，然不果颁用。至元四年，西域札马鲁丁撰进《万年历》，世祖稍颁行之。十三年，平宋，遂诏前中书左丞许衡、太子赞善王恂、都⽔少监郭守敬改治新历。衡等为以金虽改历，止以宋《元纪历》微加增益，实未尝测验于天，乃与南北⽇官陈鼎臣、邓元麟、⽑鹏翼、刘巨渊、王素、岳铉、⾼敬等参考累代历法，复测候⽇月星辰消息运行之变，参别同异，酌取中数，为以历本。十七年冬至，历成，诏赐名曰《授时历》。十八年，颁行天下。二十年，诏太子谕德李谦为《历议》，发明新历顺天求合之微，考证前代人为附会之失，诚可以贻之永久，自古及今，其推验之精，盖未有出于此者也。今衡、恂、守敬等所撰《历经》及谦《历议》故存，皆可考据，是用具著于篇。惟《万年历》不复传，而《庚午元历》虽未尝颁用，其为书犹在，因附著于后，使来者有考焉。作《历志》。
授时历议上
验气
天道运行，如环无端，治历者必就
消
息之际，为以立法之始。消息之机，何从而见之？惟候其⽇晷进退，则其机将无所遁。候之之法，不过植表测景，以究其气至之始。智作能述，前代诸人为法略备，苟能精思密索，心与理会，则前人述作之外，未必无所增益。旧法择地平衍，设⽔准绳墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，寸尺之下所为分秒太、半、少之数，未易分别。表长，则分寸稍长，所不便者，景虚而淡，难得实景。前人
就虚景之中考求实真，或设望筒，或置小表，或以木为规，皆取表端⽇光下彻圭面。今以铜为表，⾼三十六尺，端挟以二龙，举一横梁，下至圭面，共四十尺，是为八尺之表五。圭表刻为寸尺，旧寸一，今申而为五，厘毫差易分。别创为景符，以取实景。其制以铜叶，博二寸，长加博之二，中穿一窍，若针芥然，以方跂为趺，一端设为机轴，令可开阖，榰其一端，使其势斜倚，北⾼南下，往来迁就于虚景之中，窍达⽇光，仅如米许，隐然见横梁于其中。旧法以表端测晷，所得者⽇体上边之景，今以横梁取之，实得中景，不容有毫末之差。地中八尺表景，冬至长一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京师长表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表则一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表则二尺三寸四分。虽晷景长短所在不同，而其景长为冬至，景短为夏至，则一也。惟是气至时刻考求不易，盖至⽇气正，则一岁气节从而正矣。刘宋祖冲之尝取至前后二十三四⽇间晷景，折取其中，定为冬至，且以⽇差比课，推定时刻。宋皇祐间，周琮则取立冬、立舂二⽇之景，为以去至既远，⽇差颇多，易为推考。《元纪》后以诸历，为法加详，大抵不出冲之之法。新历积⽇累月，实测中晷，自远⽇以及近⽇，取前后⽇率相埒者，参考同异，初非偏取一二⽇之景，以取数多者为定，实减《大明历》一十九刻二分十。仍以累岁实测中晷⽇差分寸，定拟二至时刻于后。
推至元十四年丁丑岁冬至
其年十一月十四⽇己亥，景长七丈九尺四寸八分五厘五毫；至二十一⽇丙午，景长七丈九尺五寸四分一厘；二十二⽇丁未，景长七丈九尺四寸五分五厘。以己亥、丁未二⽇之景相校，余三分五毫为晷差，进二位；以丙午、丁未二⽇之景相校，余八分六厘为法；除之，得三十五刻；用减相距⽇八百刻，余七百六十五刻；折取其中，加半⽇刻，共为四百三十二刻半；百约为⽇，得四⽇；余以十二乘之，百约为时，得三时，満五十又作一时，共得四时；余以十二收之，得三刻；命初起距⽇己亥算外，得癸卯⽇辰初三刻为丁丑岁冬至。此取至前后四⽇景。
十一月初九⽇甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫；至二十六⽇辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫；二十七⽇壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相减，复以辛亥、壬子景相减，准前法求之，亦得癸卯⽇辰初三刻。至二十八⽇癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二⽇之景与甲午景，准前法求之，亦合。此取至前后八九⽇景。
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫；二⽇丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘；至十二月初六⽇庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。准前法求之，亦在辰初三刻。此取至前后一十七⽇景。
十月二十一⽇丙子，景七丈九寸七分一厘；至十二月十六⽇庚午，景七丈七寸六分；十七⽇辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。准前法求之，亦得辰初三刻。此取至前后二十七⽇景。
六月初五⽇癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫；初二⽇甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。准前法求之，亦合。此取至前后一百六十⽇景。
推十五年戊寅岁夏至
五月十九⽇辛丑，景一丈一尺七分七厘五毫；距二十八⽇庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九⽇辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。用辛丑、庚戌二⽇之景相减，余二厘五毫，进二位为实；复用庚戌、辛亥景相减，余二分五厘五毫为法；除之，得九刻，用减相距⽇九百刻，余八百九十一刻；半之，加半⽇刻，百约，得四⽇；余以十二乘之，百约，得十一时；余以十二收为刻，得三刻；命初起距⽇辛丑算外，得乙巳⽇亥正三刻夏至。此取至前后四⽇景。
十四年十二月十五⽇己巳，景七丈一尺三寸四分三厘；距十五年十一月初二⽇辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫；初三⽇壬午，景七丈一尺四寸六厘。用己巳、壬午景相减，以辛巳、壬午景相减除之，亦合。此用至前后一百五十六⽇景。
十四年十二月十二⽇丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫；十三⽇丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫；十四⽇戊辰，景七丈一尺九寸九厘；距十五年十一月初四⽇癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫；初五⽇甲申，景七丈二尺五寸五厘；初六⽇乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。前后互取，所得时刻皆合。此取至前后一百五十八九⽇景。
十四年十二月初七⽇辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘；初八⽇壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫；初九⽇癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘；距十五年十一月初九⽇戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十⽇己丑，景七丈五尺三厘五毫；十一⽇庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。以壬戌、己丑景相减为实，以辛酉、壬戌景相减为法，除之；或以壬戌、癸亥景相减，或以戊子、己丑景相减，若己丑、庚寅景相减，推前法求之，皆合。此取至前后一百六十三四⽇景。
推十五年戊寅岁冬至
其年十一月十九⽇戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫；距闰十一月初九⽇戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫；初十⽇己未，景七丈八尺八分二厘五毫。用戊戌、戊午二⽇景相减，余四分五厘为晷差，进二位，以戊午、己未景相减，余二寸八分一厘为法，除之，得一十六刻，加相距⽇二千刻，半之，加半⽇刻，百约，得十⽇；余以十二乘之，百约为时，満五十又进一时，共得七时；余以十二收为刻；命初起距⽇己亥算外，得戊申⽇未初三刻为戊寅岁冬至。此取至前后十⽇景。
十一月十二⽇辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫；十三⽇壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫；闰十一月十五⽇甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫；十六⽇乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘；十七⽇丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。用壬辰、甲子景相减为实，以辛卯、壬辰景相减为法，除之，亦得戊申⽇未初三刻。或用甲子、乙丑景相减，推之，亦合。若用辛卯、乙丑景相减为实，用乙丑、丙寅景相减，除之，并同。此取至前后十六七⽇景。
十一月初八⽇丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫；闰十一月二十⽇己巳，景七丈四尺一寸二分；二十一⽇庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。用丁亥、己巳景相减为实，以己巳、庚午景相减，除之，亦同。此取至前后二十一⽇景。
六月二十六⽇戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫；二十七⽇己卯，景一丈四尺六寸三分八厘；至十六年四月二⽇戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。以二戊寅景相减，用后戊寅、己卯景相减，推之，亦同。此取至前后一百五十⽇景。
五月二十八⽇庚戌，景一丈一尺七寸八分；至十六年四月二十九⽇乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘；三十⽇丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。用庚戌、丙午景相减，以乙巳、丙午景相减，推之，亦同。此取至前后百七十八⽇景。
推十六年己卯岁夏至
四月十九⽇乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫；二十⽇丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫；至五月十九⽇乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。以丙申、乙丑景相减，余二分九厘五毫为晷差，进二位；以乙未、丙申景相减，得七分六厘为法；除之，得三十八刻；加相距⽇二千九百刻，半之，加半⽇刻，百约，得十五⽇；余以十二乘之，百约，得二时；余以十二收之，得二刻；命初起距⽇丙申算外，得辛亥⽇寅正二刻为夏至。此取至前后十五⽇景。
三月二十一⽇戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六⽇壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫；十七⽇癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。用戊辰、癸巳景相减，以壬辰、癸巳景相减，准前法推之，亦合。此取至前后四十二⽇景。
三月初二⽇己酉，景二丈一尺三寸五厘；至七月初七⽇壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫；初八⽇癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。用己酉、壬子景相减，以壬子、癸丑景相减，如前法推之，亦合。此取至前后六十一二⽇景。
三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘；至七月初八⽇癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫；初九⽇甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。用戊申、癸丑景相减，以癸丑、甲寅景相减，准前法推之，亦同。此取至前后六十二三⽇景。
二月十八⽇乙未，景二丈六尺三分四厘五毫；至七月二十一⽇丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘；二十二⽇丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。用乙未、丙寅景相减，以丙寅、丁卯景相减，如前法推之，亦同。此取至前后七十五六⽇景。
二月三⽇庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫；至八月初五⽇庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫；初六⽇辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。用前庚辰与辛巳景相减，后以庚辰、辛巳景相减，如前推之，亦同。此取至前后九十⽇景。
正月十九⽇丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫；至八月十八⽇癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘；十九⽇甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。用丁卯、甲午景相减，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。此取至前后一百三四⽇景。
推十六年己卯岁冬至
十月二十四⽇戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五⽇己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六⽇庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。用戊戌、己巳景相减，余一寸六分为晷差，进二位；以己巳、庚午景相减，余四寸三分七厘五毫为法；除之，得三十六刻；以相减距⽇三千一百刻，余三千六十四刻；半之，加五十刻，百约，得一十五⽇；余以十二乘之，百约为时，満五十，又进一时，共得十时；余以十二收之为刻，得二刻；命初起距⽇戊戌算外，得癸丑⽇戌初二刻冬至。此取至前后十五六⽇景。
十月十八⽇壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫；十九⽇癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘；二十⽇甲午，景七丈五尺二分五厘；至十一月二十八⽇壬申，景七丈五尺三寸二分；二十九⽇癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘；初二⽇乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。用甲午、癸酉景相减，癸巳、甲午景相减，如前推之，亦同。若以壬申、癸酉景相减为法，推之亦同。此取至前后十八九⽇景。
若用癸巳与甲戌景相减，以壬辰、癸巳景相减，推之，或癸巳、甲午景相减，推之，或用甲戌、癸酉景相减，推之，或甲戌、乙亥景相减，推之，或以壬辰、乙亥景相减，用壬辰、癸巳景相减，推之并同。此取至前后二十⽇景。
十月十六⽇庚寅，景七丈三尺一分五厘；十二月初三⽇丙子，景七丈三尺三寸二分；初四⽇丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。用庚寅、丁丑景相减，以丙子、丁丑景相减，推之亦同。此取至前后二十三⽇景。
十月十四⽇戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫；十五⽇己丑，景七丈二尺四寸六分九厘；十二月初五⽇戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。用己丑、戊寅景相减，以戊子、己丑景相减，推之，或用己丑、庚寅相减，推之亦同。此取至前后二十四⽇景。
十月初七⽇辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘；初八⽇壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫；初九⽇癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫；十二月十二⽇乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。用壬午、乙酉景相减，以辛巳、壬午相减，推之，壬午、癸未景相减，推之亦同。此取至前后三十一二⽇景。
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；十二月十八⽇辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫；十九⽇壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。用乙亥、壬辰景相减，以辛卯、壬辰景相减，推之亦同。此取至前后三十八⽇景。
九月二十二⽇丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘；十二月二十八⽇辛丑，景五丈七尺五寸八分；二十九⽇壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。用丙寅、辛丑景相减，以辛丑、壬寅景相减，推之亦同。此取至前后四十七八⽇景。
九月二十⽇甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫；至十二月二十九⽇壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘；至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相减，壬寅、癸卯景相减，推之亦同。此取至前后五十⽇景。
右以累年推测到冬夏二至时刻为准，定拟至元十八年辛巳岁前冬至，当在己未⽇夜半后六刻，即丑初一刻。
岁余岁差
周天之度，周岁之⽇，皆三百六十有五。全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。自今岁冬至距来岁冬至，历三百六十五⽇，而⽇行一周，凡四周，历千四百六十，则余一⽇，析而四之，则四分之一也。然天之分常有余，岁之分常不⾜，其数有不能齐者，惟其所差至微，前人初未觉知。迨汉末刘洪，始觉冬至后天，谓岁周余分太強，乃作《乾象历》，减岁余分二千五百为二千四百六十二。至晋虞喜，宋何承天、祖冲之，谓岁当有差，因立岁差之法。其法损岁余，益天周，使岁余浸弱，天周浸強，強弱相减，因得⽇躔岁退之差。岁余、天周，二者实相为用，岁差由斯而立，⽇躔由斯而得，一或损益失当，讵能与天叶哉？
今自刘宋大明壬寅以来，凡测景验气得冬至时刻真数者有六，取相距积⽇时刻，以相距之年除之，各得其时所用岁余。复自大明壬寅距至元戊寅积⽇时刻，以相距之年除之，得每岁三百六十五⽇二十四分二十五秒，比《大明历》减去一十一秒，定为方今所用岁余。余七十五秒，用益所谓四分之一，共为三百六十五度二十五分七十五秒，定为天周。余分強弱相减，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，⽇却一度，以六十六年除全度，适得一分五十秒，定为岁差。
复以《尧典》中星考之，其时冬至⽇在女、虚之
。及考之前史，汉元和二年，冬至⽇在斗二十一度；晋太元九年，退在斗十七度；宋元嘉十年，在斗十四度末；梁大同十年，在斗十二度；隋开皇十八年，犹在斗十二度；唐开元十二年，在斗九度半；今退在箕十度。取其距今之年、距今之度较之，多者七十余年，少者不下五十年，辄差一度。宋庆元间，改《统天历》，取大衍岁差率八十二年及开元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，为⽇却行一度之差。施之今⽇，质诸天道，实为密近。然古今历法，合于今必不能通于古，密于古必不能验于今。今《授时历》，以之考古，则增岁余而损岁差；以之推来，则增岁差而损岁余；上推舂秋以来冬至，往往皆合；下求方来，可以永久而无弊；非止密于今⽇而已。仍以《大衍》等六历，考验舂秋以来冬至疏密，凡四十九事，具列如后。
冬至刻
《大衍》 《宣明》 《元纪》 《天》 《大明》 《授时》
献公十五年戊寅岁，正月甲寅朔旦冬至。
丙辰（22） 乙卯（88） 丁巳（33） 乙卯（2） 丁巳（35）甲寅（99）
僖公五年丙寅岁，正月辛亥朔旦冬至。
辛亥（94） 辛亥（66） 壬子（74） 辛亥（27） 壬子（89）辛亥（14）
昭公二十年己卯岁，正月己丑朔旦冬至。
己丑（45） 己丑（2） 庚寅（25） 戊子（92） 庚寅（29）戊子（83）
宋元嘉十二年乙亥岁，十一月十五⽇戊辰景长。
戊辰（35） 戊辰（32） 戊辰（39） 戊辰（51） 戊辰（41）戊辰（47）
元嘉十三年丙子岁，十一月二十六⽇甲戌景长。
癸酉（59） 癸酉（57） 癸酉（63） 癸酉（75） 癸酉（65）癸酉（71）
元嘉十五年戊寅岁，十一月十八⽇甲申景长。
甲申（8） 甲申（6） 甲申（十2） 甲申（24） 甲申（14）甲申（19）
元嘉十六年己卯岁，十月二十九⽇己丑景长。
己丑（33） 己丑（3） 己丑（37） 己丑（48） 己丑（37）己丑（44）
元嘉十七年庚辰岁，十一月初十⽇甲午景长。
甲午（57） 甲午（55） 甲午（61） 甲午（72） 甲午（63）甲午（68）
元嘉十八年辛巳岁，十一月二十一⽇己亥景长。
己亥（82） 己亥（79） 己亥（85） 己亥（97） 己亥（87）己亥（93）
元嘉十九年壬午岁，十一月初三⽇乙巳景长。
乙巳（6） 乙巳（4） 乙巳（十） 乙巳（21） 乙巳（11）乙巳（17）
大明五年辛丑岁，十一月乙酉冬至。
甲申（7） 甲申（68） 甲申（73） 甲申（89） 甲申（74）甲申（79）
陈天嘉六年乙酉岁，十一月庚寅景长。
庚寅（12） 庚寅（13） 庚寅（5） 庚寅（24） 庚寅（ 8）庚寅（17）
光大二年戊子岁，十一月乙巳景长。
乙巳（8） 乙巳（86） 乙巳（79） 乙巳（97） 乙巳（81）乙巳（ 9）
太建四年壬辰岁，十一月二十九⽇丁卯景长。
丙寅（83） 丙寅（78） 丙寅（77） 丙寅（95） 丙寅（98）丙寅（87）
太建六年甲午岁，十一月二十⽇丁丑景长。
丁丑（32） 丁丑（33） 丁丑（25） 丁丑（43） 丁丑（27）丁丑（36）
太建九年丁酉岁，十一月二十三⽇壬辰景长。
癸巳（4） 癸巳（6） 壬辰（99） 癸巳（16） 癸巳（空）癸巳（ 8）
太建十年戊戌岁，十一月五⽇戊戌景长。
戊戌（3） 戊戌（3） 戊戌（23） 戊戌（4） 戊戌（24）戊戌（33）
隋开皇四年甲辰岁，十一月十一⽇己巳景长。
己巳（77） 己巳（78） 己巳（69） 己巳（86） 己巳（71）己巳（86）
开皇五年乙巳岁，十一月二十二⽇乙亥景长。
乙亥（1） 乙亥（2） 甲戌（92） 乙亥（11） 甲戌（55）乙亥（10）
开皇六年丙午岁，十一月三⽇庚辰景长。
庚辰（25） 庚辰（26） 庚辰（18） 庚辰（34） 庚辰（19）庚辰（34）
开皇七年丁未岁，十一月十四⽇乙酉景长。
乙酉（5） 乙酉（51） 乙酉（42） 乙酉（59） 乙酉（44）乙酉（59）
开皇十一年辛亥岁，十一月二十八⽇丙午景长。
丙午（48） 丙午（49） 丙午（43） 丙午（57） 丙午（41）丙午（56）
开皇十四年甲寅岁，十一月辛酉朔旦冬至。
壬戌（21） 壬戌（22） 壬戌（13） 壬戌（ 3） 壬戌（14）壬戌（29）
唐贞观十八年甲辰岁，十一月乙酉景长。
甲申（43） 甲申（45） 甲申（31） 甲申（ 5） 甲申（32）甲申（44）
贞观二十三年己酉岁，十一月辛亥景长。
庚戌（65） 庚戌（68） 庚戌（53） 庚戌（72） 庚戌（54）庚戌（66）
龙朔二年壬戌岁，十一月四⽇己未至戊午景长。
戊午（83） 戊午（86） 戊午（69） 戊午（88） 戊午（71）戊午（82）
仪凤元年丙子岁，十一月壬申景长。
壬申（25） 壬申（28） 壬申（10） 壬申（28） 壬申（12）壬申（22）
永淳元年壬午岁，十一月癸卯景长。
癸卯（72） 癸卯（75） 癸卯（57） 癸卯（76） 癸卯（58）癸卯（68）
开元十年壬戌岁，十一月癸酉景长。
癸酉（49） 癸酉（54） 癸酉（31） 癸酉（ 5） 癸酉（32）癸酉（46）
开元十一年癸亥岁，十一月戊寅景长。
戊寅（74） 戊寅（77） 戊寅（55） 戊寅（74） 戊寅（56）戊寅（ 7）
开元十二年甲子岁，十一月癸未冬至。
癸未（98） 甲申（3） 癸未（8） 癸未（99） 癸未（81）癸未（95）
宋景德四年丁未岁，十一月戊辰⽇南至。
戊辰（15） 戊辰（26） 丁卯（74） 丁卯（82） 丁卯（74）丁卯（ 8）
皇祐二年庚寅岁，十一月三十⽇癸丑景长。
癸丑（65） 癸丑（79） 癸丑（22） 癸丑（25） 癸丑（22）癸丑（23）
元丰六年癸亥岁，十一月丙午景长。
丙午（73） 丙午（85） 丙午（26） 丙午（27） 丙午（26）丙午（26）
元丰七年甲子岁，十一月辛亥景长。
辛亥（97） 壬子（10） 辛亥（5） 辛亥（51） 辛亥（ 5）辛亥（51）
元祐三年戊辰岁，十一月壬申景长。
壬申（94） 癸酉（8） 壬申（48） 壬申（48） 壬申（48）壬申（48）
元祐四年己巳岁，十一月丁丑景长。
戊寅（19） 戊寅（32） 丁丑（72） 丁丑（72） 丁丑（72）丁丑（72）
元祐五年庚午岁，十一月壬午冬至。
癸未（44） 癸未（56） 壬午（96） 壬午（97） 壬午（96）壬午（96）
元祐七年壬申岁，十一月癸巳冬至。
癸巳（92） 甲午（5） 癸巳（45） 癸巳（45） 癸巳（45）癸巳（45）
元符元年戊寅岁，十一月甲子冬至。
乙丑（39） 乙丑（52） 甲子（91） 甲子（91） 甲子（91）甲子（91）
崇宁三年甲申岁，十一月丙申冬至。
丙申（86） 丙申（99） 丙申（37） 丙申（36） 丙申（37）丙申（37）
绍熙二年辛亥岁，十一月壬申冬至。
癸酉（12） 癸酉（27） 壬申（57） 壬申（47） 壬申（57）壬申（46）
庆元三年丁巳岁，十一月癸卯⽇南至。
甲辰（59） 甲辰（74） 甲辰（ 3） 癸卯（92） 甲辰（ 3）癸卯（92）
嘉泰三年癸亥岁，十一月甲戌⽇南至。
丙子（5） 丙子（21） 乙亥（49） 乙亥（37） 乙亥（49）乙亥（37）
嘉定五年壬申岁，十一月壬戌⽇南至。
癸亥（25） 癸亥（41） 壬戌（69） 壬戌（56） 壬戌（68）壬戌（56）
绍定三年庚寅岁，十一月丙申⽇南至。
丁酉（65） 丁酉（83） 丁酉（ 7） 丙申（63） 丁酉（ 7）丙申（92）
淳祐十年庚戌岁，十一月辛巳⽇南至。
壬午（94） 壬午（71） 辛巳（96） 辛巳（77） 辛巳（94）辛巳（78）
本朝至元十七年庚辰岁，十一月己未夜半后六刻冬至。
己未（87） 庚申（ 5） 己未（25） 己未（ 4） 己未（24）己未（ 6）
右自舂秋献公以来，凡二千一百六十余年，用《大衍》、《宣明》、《元纪》、《统天》、《大明》、《授时》六历推算冬至，凡四十九事。《大衍历》合者三十二，不合者十七；《宣明历》合者二十六，不合者二十三；《元纪历》合者三十五，不合者十四；《统天历》合者三十八，不合者十一；《大明历》合者三十四，不合者十五；《授时历》合者三十九，不合者十事。
今按献公十五年戊寅岁正月甲寅朔旦冬至，《授时历》得甲寅，《统天历》得乙卯，后天一⽇；至僖公五年丙寅岁正月辛亥朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得辛亥，与天合；下至昭公二十年己卯岁正月己丑朔旦冬至，《授时》、《统天》皆得戊子，并先一⽇，若曲变其法以从之，则献公、僖公皆不合矣。以此知《舂秋》所书昭公冬至，乃⽇度失行之验。一也。《大衍历》考古冬至，谓刘宋元嘉十三年丙子岁十一月甲戌⽇南至，《大衍》与《皇极》、《麟德》三历皆得癸酉，各先一⽇，乃⽇度失行，非三历之差。今以《授时历》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛丑岁十一月乙酉冬至，诸历皆得甲申，殆亦⽇度之差。三也。陈太建四年壬辰岁十一月丁卯景长，《大衍》、《授时》皆得丙寅，是先一⽇；太建九年丁酉岁十一月壬辰景长，《大衍》、《授时》皆得癸巳，是后一⽇；一失之先，一失之后，若合于壬辰，则差于丁酉，合于丁酉，则差于壬辰，亦⽇度失行之验。五也。开皇十一年辛亥岁十一月丙午景长，《大衍》、《统天》、《授时》皆得丙午，与天合；至开皇十四年甲寅岁十一月辛酉冬至，而《大衍》、《统天》、《授时》皆得壬戌，若合于辛亥，则失于甲寅，合于甲寅，则失于辛亥，其开皇十四年甲寅岁冬至，亦⽇度失行。六也。唐贞观十八年甲辰岁十一月乙酉景长，诸历得甲申，贞观二十三年己酉岁十一月辛亥景长，诸历皆得庚戌，《大衍历议》以永淳、开元冬至推之，知前二冬至乃史官依时历以书，必非候景所得，以所不合，今以《授时历》考之亦然。八也。自前宋以来，测景验气者凡十七事，其景德丁未岁戊辰⽇南至，《统天》、《授时》皆得丁卯，是先一⽇；嘉泰癸亥岁甲戌⽇南至，《统天》、《授时》皆得乙亥，是后一⽇；一失之先，一失之后，若曲变其数以从景德，则其余十六事多后天，从嘉泰，则其余十六事多先天，亦⽇度失行之验。十也。
前十事皆《授时历》所不合，以此理推之，非不合矣，盖类其同则知其中，辨其异则知其变。今于冬至略其⽇度失行及史官依时历书之者凡十事，则《授时历》三十九事皆中，《统天历》与今历不合者仅有献公一事，《大衍历》推献公冬至后天二⽇，《大明》后天三⽇，《授时历》与天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》后天八十一刻，《大明》后天一十九刻，《统天历》先天一刻，《授时历》与天合。前以代诸历校之，《授时》为密，庶几千岁之⽇至，可坐而致云。
古今历参校疏密
《授时历》与古历相校，疏密自见，盖上能合于数百载之前，则下可行之永久，此前人定说。古称善治历者，若宋何承天，隋刘焯，唐傅仁均、僧一行之流，最为杰出。今以其历与至元庚辰冬至气应相校，未有不舛戾者，而以新历上推往古，无不吻合，则其疏密从可知已。
宋文帝元嘉十九年壬午岁十一月乙巳⽇十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰岁，计八百三十八年。其年十一月，气应己未六刻冬至，《元嘉历》推之，得辛酉，后《授时》二⽇，《授时》上考元嘉壬午岁冬至，得乙巳，与元嘉合。
隋大业三年丁卯岁十一月庚午⽇五十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百七十三年。《皇极历》推之，得庚申冬至，后《授时》一⽇；《授时》上考大业丁卯岁冬至，得庚午，与《皇极》合。
唐武德元年戊寅岁十一月戊辰⽇六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计六百六十二年。《戊寅历》推之，得庚申冬至，后《授时》一⽇；《授时历》上考武德戊寅岁，得戊辰冬至，与《戊寅历》合。
开元十五年丁卯岁十一月己亥⽇七十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计五百五十三年。《大衍历》推之，得己未冬至，后《授时》八十一刻；《授时历》上考开元丁卯岁，得己亥冬至，与《大衍历》合，先四刻。
长庆元年辛丑岁十一月壬子⽇七十六刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计四百五十九年。《宣明历》推之，得庚申冬至，后《授时》一⽇；《授时历》上考长庆辛丑岁，得壬子冬至，与《宣明历》合。
宋太平兴国五年庚辰岁十一月丙午⽇六十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计三百年。《乾元历》推之，得庚申冬至，后《授时》一⽇；《授时历》上考太平兴国庚辰岁，得丙午冬至，与《乾元》合。
咸平三年庚子岁十一月辛卯⽇五十三刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计二百八十年。《仪天历》推之，得庚申冬至，后《授时》一⽇；《授时》上考咸平庚子岁，得辛卯冬至，与《仪天》合。
崇宁四年乙酉岁十一月辛丑⽇六十二刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百七十五年。《元纪历》推之，得己未⽇冬至，后《授时》十九刻；《授时历》上考崇宁乙酉岁，得辛丑⽇冬至，与《元纪历》合，先二刻。
金大定十九年己亥岁十一月己巳⽇六十四刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计一百一年。《大明历》推之，得己未冬至，后《授时》一十九刻；《授时历》上考大定己亥岁，己巳冬至，与《大明历》合，先九刻。（《大明》冬至盖测验未密故也。）
庆元四年戊午岁十一月己酉⽇一十七刻冬至，距至元十七年庚辰岁，计八十二年。《统天历》推之，得己未冬至，先《授时》一刻；《授时历》上考庆元戊午岁，得己酉⽇冬至，与《统天历》合。
周天列宿度
列宿著于天，为舍二十有八，为度三百六十五有奇。非⽇躔无以校其度，非列舍无以纪其度，周天之度，因二者以得之。天体圆浑，当二极南北之中，络以⾚道，⽇月五星之行，常出⼊于比。天左旋，⽇月五星溯而右转，昔人历象⽇月星辰，谓此也。然列舍相距度数，历代所测不同，非微有动移，则前人所测或有未密。古用窥管，今新制浑仪，测用二线，所测度数分秒与前代不同者，今列于左。
（表略）
⽇躔
⽇之丽天，县象最著，大明一生，列宿俱熄。古人
测躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，从考其所当；然昏旦夜半时刻未易得真，时刻一差，则所距、所当，不容无舛。晋姜岌首以月食冲检，知⽇度所在；《元纪历》复以太⽩志其相距远近，于昏后明前验定星度，因得⽇躔。今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至⽇躔⾚道箕宿十度，⻩道九度有奇。仍自其年正月至己卯岁终，三年之间，⽇测太所离宿次及岁星、太⽩相距度，定验参考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，适与月食所冲允合。以金赵知微所修《大明历法》推之，冬至犹躔斗初度三十六分六十四秒，比新测实差七十六分六十四秒。⽇行盈缩
⽇月之行，有冬有夏，言⽇月行度，冬夏各不同也。人徒知⽇行一度，一岁一周天，曾不知盈缩损益，四序有不同者。北齐张子信积候合蚀加时，觉⽇行有⼊气差，然损益未得其正。赵道严复准晷景长短，定⽇行进退，更造盈缩以求亏食。至刘焯立躔度，与四序升降，虽损益不同，后代祖述用之。
夫
往来，驯积而变，冬至⽇行一度強，出⾚道二十四度弱，自此⽇轨渐北，积八十八⽇九十一分，当舂分前三⽇，在⾚道，实行九十一度三十一分而适平。自后其盈⽇损，复行九十三⽇七十一分，当夏至之⽇，⼊⾚道內二十四度弱，实行九十一度三十一分，⽇行一度弱，向之盈分尽损而无余。自此⽇轨渐南，积九十三⽇七十一分，当秋分后三⽇，在⾚道，实行九十一度三十一分而复平。自后其缩⽇损，行八十八⽇九十一分，出⾚道外二十四度弱，实行九十一度三十一分，复当冬至，向之缩分尽损而无余。盈缩均有损益，初为益，末为损。自冬至以及舂分，舂分以及夏至，⽇躔自北陆转而西，西而南，于盈为益，益极而损，损至于无余而缩。自夏至以及秋分，秋分以及冬至，⽇躔自南陆转而东，东而北，于缩为益，益极而损，损至于无余而复盈。盈初缩末，俱八十八⽇九十一分而行一象；缩初盈末，俱九十三⽇七十一分而行一象；盈缩极差，皆二度四分十。由实测晷景而得，仍以算术推考，与所测允合。月行迟疾
古历谓月平行十三度十九分度之七。汉耿寿昌为以⽇月行至牵牛、东井，⽇过度，月行十五度，至娄、角，始平行，⾚道使然。贾逵为以今合朔、弦、望、月食加时，以所不中者，盖不知月行迟疾意。李梵、苏统皆以月行当有迟疾，不必在牵牛、东井、娄、角之间，乃由行道有远近出⼊所生。刘洪作《乾象历》，精思二十余年，始悟其理，列为差率，以囿进退损益之数。后之作历者，咸因之。至唐一行，考九道委蛇曲折之数，得月行疾徐之理。
先儒谓月与五星，皆近⽇而疾，远⽇而迟。历家立法，以⼊转一周之⽇，为迟疾二历，各立初末二限，初为益，末为损。在疾初迟末，其行度率过于平行；迟初疾末，率不及于平行。自⼊转初⽇行十四度半強，从是渐杀，历七⽇，适及平行度，谓之疾初限，其积度比平行余五度四十二分。自是其疾⽇损，又历七⽇，行十二度微強，向之益者尽损而无余，谓之疾末限。自是复行迟度，又历七⽇，适及平行度，谓之迟初限，其积度比平行不及五度四十二分。自此其迟⽇损，行度渐增，又历七⽇，复行十四度半強，向之益者亦损而无余，谓之迟末限。⼊转一周，实二十七⽇五十五刻四十六分，迟疾极差皆五度四十二分。旧历⽇为一限，皆用二十八限。今定验得转分进退时各不同，今分⽇为十二，共三百三十六限，半之为半周限，析而四之为象限。
⽩道
周当二极南北之中，横络天体以纪宿度者，⾚道也。出⼊⾚道，为⽇行之轨者，⻩道也。所谓⽩道，与⻩道
贯，月行之所由也。古人随方立名，分为八行，与⻩道而九，究而言之，实其一也。惟其随迁徙，变动不居，故強以方⾊名之。月道出⼊⽇道，两相
值，当朔则⽇为月所掩，当望则月为⽇所冲，故皆有食。然涉有远近，食分有深浅，皆可以数推之。所谓周者，月道出⼊⽇道一周之⽇也。⽇道距⾚道之远，为度二十有四。月道出⼊⽇道，不逾六度；其距⾚道也，远不过三十度，近不下十八度。出⻩道外为，⼊⻩道內为，一周，分为四象。月当⻩道为正，出⻩道外六度为半，复当⻩道为中，⼊⻩道內六度为半，是为四象。象别七⽇，各行九十一度，四象周历，是谓一之终，以⽇计之，得二十七⽇二十一刻二十二分二十四秒。每一，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九，退天一周有奇，终而复始。正在舂正，半出⻩道外六度，在⾚道內十八度。正在秋正，半出⻩道外六度，在⾚道外三十度。中在舂正，半⼊⻩道內六度，在⾚道內三十度。中在秋正，半⼊⻩道內六度，在⾚道外十八度。月道与⾚道正，距舂秋二正⻩⾚道正宿度，东西不及十四度三分度之二。夏至在历內，冬至在历外，月道与⾚道所差者多；夏至在历外，冬至在历內，月道与⾚道所差者少。盖⽩道二，有斜有直，二历，有內有外，直者密而狭，斜者疏而阔，其差亦从而异。今立象置法求之，差数多者不过三度五分十，少者不下一度三分十，是为月道与⾚道多少之差。昼夜刻
⽇出为昼，⽇⼊为夜，昼夜一周，共为百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。无间南北，所在皆同。昼短则夜长，夜短则昼长，此自然之理也。舂秋二分，⽇当⾚道出⼊，昼夜正等，各五十刻。自舂分以及夏至，⽇⼊⾚道內，去极浸近，夜短而昼长。自秋分以及冬至，⽇出⾚道外，去极浸远，昼短而夜长。以地中揆之，长不过六十刻，短不过四十刻。地中以南，夏至去⽇出⼊之所为远，其长有不及六十刻者；冬至去⽇出⼊之所为近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去⽇出⼊之所为近，其长有不止六十刻者；冬至去⽇出⼊之所为远，其短有不及四十刻者。今京师冬至⽇出辰初二刻，⽇⼊申正二刻，故昼刻三十八，夜刻六十二；夏至⽇出寅正二刻，⽇⼊戌初二刻，故昼刻六十二，夜刻三十八。盖地有南北，极有⾼下，⽇出⼊有早晏，以所不同耳。今《授时历》昼夜刻，一以京师为正，其各所实测北极⾼下，具见《天文志》。 N6zWW.cＯM