◎历四
○授时历经下
步中星第五
大都北极，出地四十度太強。
冬至，去极一百一十五度二十一分七十三秒。
夏至，去极六十七度四十一分一十三秒。
冬至昼，夏至夜，三千八百一十五分九十二秒。
夏至昼，冬至夜，六千一百八十四分八秒。
昏明，二百五分十。
⻩道出⼊⾚道內外去极度及半昼夜分
（表略）
求每⽇⻩道出⼊⾚道內外去极度
置所求⽇晨前夜半⻩道积度，満半岁周，去之，在象限已下，为初限；已上，复减半岁周，余为⼊末限；満积度，去之，余以其段內外差乘之，百约之，所得，用减內外度，为出⼊⾚道內外度；內减外加象限，即所求去极度及分秒。
求每⽇半昼夜及⽇出⼊晨昏分
置所求⼊初末限，満积度，去之，余以昼夜差乘之，百约之，所得，加减其段半昼夜分，为所求⽇半昼夜分；）前多后少为减，前少后多为加。以半夜分便为⽇出分，用减⽇周，余为⽇⼊分；以昏明分减⽇出分，余为晨分；加⽇⼊分，为昏分。
求昼夜刻及⽇出⼊辰刻
置半夜分，倍之，百约，为夜刻；以减百刻，余为昼刻；以⽇出⼊分依发敛求之，即得所求辰刻。
求更点率
置晨分，倍之，五约，为更率；又五约更率，为点率。
求更点所在辰刻
置所求更点数，以更点率乘之，加其⽇昏分，依发敛求之，即得所求辰刻。
求距中度及更差度
置半⽇周，以其⽇晨分减之，余为距中分；以三百六十六度二十五分七十五秒乘之，如⽇周而一，所得，为距中度；用减一百八十三度一十二分八十七秒半，倍之，五除，为更差度及分。
求昏明五更中星
置距中度，以其⽇午中⾚道⽇度加而命之，即昏中星所临宿次，命为初更中星；以更差度累加之，満⾚道宿次去之，为逐更及晓中星宿度及分秒。其九服所在昼夜刻分及中星诸率，并准随处北极出地度数推之。（已上诸率，与晷漏所推自相符契。）
求九服所在漏刻
各于所在以仪测验，或下⽔漏，以定其处冬至或夏至夜刻，与五十刻相减，余为至差刻。置所求⽇⻩道，去⾚道內外度及分，以至差刻乘之，进一位，如二百三十九而一，所得內减外加五十刻，即所求夜刻；以减百刻，余为昼刻。（其⽇出⼊辰刻及更点等率，依术求之。）
步
会第六终分，二十七万二千一百二十二分二十四秒。终，二十七⽇二千一百二十二分二十四秒。中，十三⽇六千六十一分一十二秒。差，二⽇三千一百八十三分六十九秒。望，十四⽇七千六百五十二分九十六秒半。应，二十六万一百八十七分八十六秒。终，三百六十三度七十九分三十四秒。中，一百八十一度八十九分六十七秒。正
，三百五十七度六十四分。中
，一百八十八度五分。⽇食
历限，六度。 定法，六十。
历限，八度。 定法，八十。月食限，十三度五分。 定法，八十七。
推天正经朔⼊
置中积，加
应，减闰余，満终分，去之；不尽，以⽇周约之为⽇，不満为分秒，即天正经朔⼊泛⽇及分秒。）上考者，中积內加所求闰余，减应，満终去之，不尽，以减终，余如上。求次朔望⼊
置天正经朔⼊
泛⽇及分秒，以望累加之，満终⽇，去之，即为次朔望⼊泛⽇及分秒。求定朔望及每⽇夜半⼊
各置⼊
泛⽇及分秒，减去经朔望小余，即为定朔望夜半⼊。若定⽇有增损者，亦如之。否则因经为定，大月加二⽇，小月加一⽇，余皆加七千八百七十七分七十六秒，即次朔夜半⼊；累加一⽇，満终⽇，去之，即每⽇夜半⼊泛⽇及分秒。求定朔望加时⼊
置经朔望⼊
泛⽇及分秒，以定朔望加减差加减之，即定朔望加时⼊⽇及分秒。求
常定度置经朔望⼊
泛⽇及分秒，以月平行度乘之，为常度；以盈缩差盈加缩减之，为定度。求⽇月食甚定分
⽇食：视定朔分在半⽇周已下，去减半周，为中前；已上，减去半周，为中后；与半周相减、相乘，退二位，如九十六而一，为时差；中前以减，中后以加，皆加减定朔分，为食甚定分；以中前后分各加时差，为距午定分。
月食：视定望分在⽇周四分之一已下，为卯前；已上，覆减半周，为卯后；在四分之三已下，减去半周，为酉前；已上，覆减⽇周，为酉后。以卯酉前后分自乘，退二位，如四百七十八而一，为时差；子前以减，子后以加，皆加减定望分，为食甚定分；各依发敛求之，即食甚辰刻。
求⽇月食甚⼊盈缩历及⽇行定度
置经朔望⼊盈缩历⽇及分，以食甚⽇及定分加之，以经朔望⽇及分减之，即为食甚⼊盈缩历；依⽇躔术求盈缩差，盈加缩减之，为食甚⼊盈缩历定度。
求南北差
视⽇食甚⼊盈缩历定度，在象限已下，为初限；已上，用减半岁周，为末限；以初末限度自相乘，如一千八百七十而一，为度，不満，退除为分秒；用减四度四十六分，余为南北泛差；以距午定分乘之，以半昼分除之，所得，以减泛差，为定差。泛差不及减者，反减之为定差，应加者减之，应减者加之。在盈初缩末者，
前历减，历加，后历加，历减；在缩初盈末者，前历加，历减，后历减，历加。求东西差
视⽇食甚⼊盈缩历定度，与半岁周相减相乘，如一千八百七十而一，为度，不満，退除为分秒，为东西泛差；以距午定分乘之，以⽇周四分之一除之，为定差。若在泛差已上者，倍泛差减之，余为定差，依其加减。在盈中前者，
前历减，历加；后历加，历减；中后者，前历加，历减；后历减，历加。在缩中前者，前历加，历减；后历减，历加；中后者，前历减，历加；后历加，历减。求⽇食正
中限度置正
、中度，以南北东西差加减之，为正、中限度及分秒。求⽇食⼊
历去前后度视
定度，在中限已下，以减中限，为历前度；已上，减去中限，为历后度；在正限已下，以减正限，为历前度；已上，减去正限，为历后度。求月食⼊
历去前后度视
定度，在中度已下，为历；已上，减去中，为历。视⼊历，在后准十五度半已下，为后度；前准一百六十六度三十九分六十八秒已上，覆减中，余为前度及分。求⽇食分秒
视去
前后度，各减历食限，（不及减者不食。）余如定法而一，各为⽇食之分秒。求月食分秒
视去
前后度，）用不南北东西差者。用减食限，（不及减者不食。）余如定法而一，为月食之分秒。求⽇食定用及三限辰刻
置⽇食分秒，与二分十相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如⼊定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，为⽇食三限辰刻。
求月食定用及三限五限辰刻
置月食分秒，与三分十相减、相乘，平方开之；所得，以五千七百四十乘之，如⼊定限行度而一，为定用分；以减食甚定分，为初亏；加食甚定分，为复圆；依发敛求之，即月食三限辰刻。
月食既者，以既內分与一分十相减、相乘，平方开之，所得，以五千七百四十乘之，如⼊定限行度而一，为既內分；用减定用分，为既外分；以定用分减食甚定分，为初亏；加既外，为食既；又加既內，为食甚；再加既內，为生光；复加既外，为复圆；依发敛求之，即月食五限辰刻。
求月食⼊更点
置食甚所⼊⽇晨分，倍之，五约，为更法；又五约更法，为点法。乃置初末诸分，昏分已上，减去昏分，晨分已下，加晨分，以更法除之，为更数；不満，以点法收之，为点数；其更点数，命初更初点算外，各得所⼊更点。
求⽇食所起
食在
历，初起西南，甚于正南，复于东南；食在历，初起西北，甚于正北，复于东北；食八分已上，初起正西，复于正东。（此据午地而论之。）求月食所起
食在
历，初起东北，甚于正北，复于西北；食在历，初起东南，甚于正南，复于西南；食八分已上，初起正东，复于正西。（此亦据午地而论之。）求⽇月出⼊带食所见分数
视其⽇⽇出⼊分，在初亏已上、食甚已下者，为带食。各以食甚分与⽇出⼊分相减，余为带食差；以乘所食之分，満定用分而一，（如月食既者，以既內分减带食差，余进一位，如既外分而一，所得，以减既分，即月带食出⼊所见之分；不及减者，为带食既出⼊。）以减所食分，即⽇月出⼊带食所见之分。（其食甚在昼，晨为渐进，昏为已退；其食甚在夜，晨为已退，昏为渐进。）
求⽇月食甚宿次
置⽇月食甚⼊盈缩历定度，在盈，便为定积；在缩，加半岁周，为定积。望即更加半周天度。以天正冬至加时⻩道⽇度，加而命之，各得⽇月食甚宿次及分秒。
步五星第七
历度
三百六十五度二十五分七十五秒。
历中
一百八十二度六十二分八十七秒半。
历策
一十五度二十一分九十秒六十二微半。
木星
周率，三百九十八万八千八百分。
周⽇，三百九十八⽇八十八分。
历率，四千三百三十一万二千九百六十四分八十六秒半。
度率，一十一万八千五百八十二分。
合应，一百一十七万九千七百二十六分。
历应，一千八百九十九万九千四百八十一分。
盈缩立差，二百三十六加。
平差，二万五千九百一十二减。
定差，一千八十九万七千。
伏见，一十三度。
（表略）
火星
周率，七百七十九万九千二百九分十。
周⽇，七百七十九⽇九十二分九十秒。
历率，六百八十六万九千五百八分十四十三秒。
度率，一万八千八百七分半。
合应，五十六万七千五百四十五分。
历应，五百四十七万二千九百三十八分。
盈初缩末立差，一千一百三十五减。
平差，八十三万一千一百八十九减。
定差，八千八百四十七万八千四百。
缩初盈末立差，八百五十一加。
平差，三万二百三十五负减。
定差，二千九百九十七万六千三百。
伏见，一十九度。
（表略）
土星
周率，三百七十八万九百一十六分。
周⽇，三百七十八⽇九分一十六秒。
历率，一亿七百四十七万八千八百四十五分六十六秒。
度率，二十九万四千二百五十五分。
合应，一十七万五千六百四十三分。
历应，五千二百二十四万五百六十一分。
盈立差，二百八十三加。
平差，四万一千二十二减。
定差，一千五百一十四万六千一百。
缩立差，三百三十一加。
平差，一万五千一百二十六减。
定差，一千一百一万七千五百。
伏见，一十八度。
（表略）
金星
周率，五百八十三万九千二十六分。
周⽇，五百八十三⽇九分十二十六秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。
度率，一万。
合应，五百七十一万六千三百三分十。
历应，一十一万九千六百三十九分。
盈缩立差，一百四十一加。
平差，三减。
定差，三百五十一万五千五百。
伏见，一十度半。
（表略）
⽔星
周率，一百一十五万八千七百六分十。
周⽇，一百一十五⽇八十七分六十秒。
历率，三百六十五万二千五百七十五分。
度率，一万。
合应，七十万四百三十七分。
历应，二百五万五千一百六十一分。
盈缩立差，一百四十一加。
平差，二千一百六十五减。
定差，三百八十七万七千。
晨伏夕见，一十六度半。
夕伏晨见，一十九度。
（表略）
推天正冬至后五星平合及诸段中积中星
置中积，加合应，以其星周率去之，不尽，为前合；复减周率，余为后合；以⽇周约之，得其星天正冬至后平合中积中星。）命为⽇，⽇中积；命为度，⽇中星。以段⽇累加中积，即诸段中积；以平度累加中星，经退则减之，即为诸段中星。）上考者，中积內减合应，満周率去之，不尽，便为所求后合分。
推五星平合及诸段⼊历
各置中积，加历应及所求后合分，満历率，去之；不尽，如度率而一为度，不満，退除为分秒，即其星平合⼊历度及分秒；以诸段限度累加之，即诸段⼊历。上考者，中积內减历应，満历率去之，不尽，反减历率，余加其年后合，余同上。
求盈缩差
置⼊历度及分秒，在历中已下，为盈；已上，减去历中，余为缩。视盈缩历，在九十一度三十一分四十三秒太已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。
其火星，盈历在六十度八十七分六十二秒半已下，为初限；已上，用减历中，余为末限。
置各星立差，以初末限乘之，去加减平差，得，又以初末限乘之，去加减定差，再以初末限乘之，満亿为度，不満退除为分秒，即所求盈缩差。
又术：置盈缩历，以历策除之，为策数，不尽为策余；以其下损益率乘之，历策除之，所得，益加损减其下盈缩积，亦为所求盈缩差。
求平合诸段定积
各置其星其段中积，以其盈缩差盈加缩减之，即其段定积⽇及分秒；以天正冬至⽇分加之，満纪法去之，不満，命甲子算外，即得⽇辰。
求平合及诸段所在月⽇
各置其段定积，以天正闰⽇及分加之，満朔策，除之为月数，不尽，为⼊月已来⽇数及分秒。其月数，命天正十一月算外，即其段⼊经月朔⽇数及分秒；以⽇辰相距，为所在定朔月⽇。
求平合及诸段加时定星
各置其段中星，以盈缩差盈加缩减之，（金星倍之，⽔星三之。）即诸段定星；以天正冬至加时⻩道⽇度加而命之，即其星其段加时所在宿度及分秒。
求诸段初⽇晨前夜半定星
各以其段初行率，乘其段加时分，百约之，乃顺减退加其⽇加时定星，即其段初⽇晨前夜半定星；加命如前，即得所求。
求诸段⽇率度率
各以其段⽇辰距后段⽇辰为⽇率，以其段夜半宿次与后段夜半宿次相减，余为度率。
求诸段平行分
各置其段度率，以其段⽇率除之，即其段平行度及分秒。
求诸段增减差及⽇差
以本段前后平行分相减，为其段泛差；倍而退位，为增减差；以加减其段平行分，为初末⽇行分。）前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。倍增减差，为总差；以⽇率减一，除之，为⽇差。
求前后伏迟退段增减差
前伏者，置后段初⽇行分，加其⽇差之半，为末⽇行分。
后伏者，置前段末⽇行分，加其⽇差之半，为初⽇行分；以减伏段平行分，余为增减差。
前迟者，置前段末⽇行分，倍其⽇差，减之，为初⽇行分。
后迟者，置后段初⽇行分，倍其⽇差，减之，为末⽇行分；以迟段平行分减之，余为增减差。）前后近留之迟段。
木火土三星，退行者，六因平行分，退一位，为增减差。
金星，前后退伏者，三因平行分，半而退位，为增减差。
前退者，置后段初⽇行分，以其⽇差减之，为末⽇行分。
后退者，置前段末⽇行分，以其⽇差减之，为初⽇行分；乃以本段平行分减之，余为增减差。
⽔星，退行者，半平行分，为增减差；皆以增减差加减平行分，为初末⽇行分。前多后少者，加为初，减为末；前少后多者，减为初，加为末。又倍增减差，为总差；以⽇率减一，除之，为⽇差。
求每⽇晨前夜半星行宿次
各置其段初⽇行分，以⽇差累损益之，后少则损之，后多则益之，为每⽇行度及分秒；乃顺加退减，満宿次去之，即每⽇晨前夜半星行宿次。
求五星平合见伏⼊盈缩历
置其星其段定积⽇及分秒，（若満岁周⽇及分秒，去之，余在次年天正冬至后。）如在半岁周已下，为⼊盈历；満半岁周，去之，为⼊缩历；各在初限已下，为初限；已上，反减半岁周，余为末限；即得五星平合见伏⼊盈缩历⽇及分秒。
求五星平合见伏行差
各以其星其段初⽇星行分，与其段初⽇太
行分相减，余为行差。若金、⽔二星退行在退合者，以其段初⽇星行分，并其段初⽇太行分，为行差；內⽔星夕伏晨见者，直以其段初⽇太行分为行差。求五星定合定见定伏泛积
木火土三星，以平合晨见夕伏定积⽇，便为定合伏见泛积⽇及分秒。
金⽔二星，置其段盈缩差度及分秒，（⽔星倍之。）各以其段行差除之，为⽇，不満，退除为分秒。在平合夕见晨伏者，盈减缩加；在退合夕伏晨见者，盈加缩减；各以加减定积为定合伏见泛积⽇及分秒。
求五星定合定积定星
木火土三星，各以平合行差除其段初⽇太
盈缩积，为距合差⽇；不満，退除为分秒，以太盈缩积减之，为距合差度。各置其星定合泛积，以距合差⽇盈减缩加之，为其星定合定积⽇及分秒；以距合差度盈减缩加之，为其星定合定星度及分秒。金⽔二星，顺合退合者，各以平合退合行差，除其⽇太
盈缩积，为距合差⽇；不満，退除为分秒，顺加退减太盈缩积，为距合差度。顺合者，盈加缩减其星定合泛积，为其星定合定积⽇及分秒；退合者，以距合差⽇盈减缩加、距合差度盈加缩减其星退定合泛积，为其星退定合定积⽇及分秒；命之，为退定合定星度及分秒。以天正冬至⽇及分秒，加其星定合定积⽇及分秒，満旬周，去之，命甲子算外，即得定合⽇辰及分秒。以天正冬至加时⻩道⽇度及分秒，加其星定合定星度及分秒，満⻩道宿次，去之，即得定合所躔⻩道宿度及分秒。（径求五星合伏定⽇：木、火、土三星，以夜半⻩道⽇度，减其星夜半⻩道宿次，余在其⽇太行分已下，为其⽇伏合；金、⽔二星，以其星夜半⻩道宿次，减夜半⻩道⽇度，余在其⽇金、⽔二星行分已下者，为其⽇伏合。金、⽔二星伏退合者，视其⽇太夜半⻩道宿次，未行到金、⽔二星宿次，又视次⽇太行过金、⽔二星宿次，金、⽔二星退行过太宿次，为其⽇定合伏退定⽇。）求木火土三星定见伏定积⽇
各置其星定见定伏泛积⽇及分秒，晨加夕减九十一⽇三十一分六秒，如在半岁周已下，自相乘，已上，反减岁周，余亦自相乘，満七十五，除之为分，満百为度，不満，退除为秒；以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，以其段行差除之，为⽇，不満，退除为分秒；见加伏减泛积，为其星定见伏定积⽇及分秒；加命如前，即得定见定伏⽇辰及分秒。
求金⽔二星定见伏定积⽇
各以伏见⽇行差，除其段初⽇太
盈缩积，为⽇，不満，退除为分秒；若夕见晨伏，盈加缩减；如晨见夕伏，盈减缩加；以加减其星定见定伏泛积⽇及分秒，为常积。如在半岁周已下，为冬至后；已上，去之，余为夏至后。各在九十一⽇三十一分六秒已下，自相乘，已上，反减半岁周，亦自相乘。冬至后晨，夏至后夕，一十八而一，为分；冬至后夕，夏至后晨，七十五而一，为分；又以其星见伏度乘之，一十五除之；所得，満行差，除之，为⽇，不満，退除为分秒，加减常积，为定积。在晨见夕伏者，冬至后加之，夏至后减之；夕见晨伏者，冬至后减之，夏至后加之；为其星定见定伏定积⽇及分秒；加命如前，即得定见定伏⽇晨及分秒。
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